2016北京师范大学专业综合一考研大纲（专业学位）

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2016年北京师范大学专业学位硕士研究生招生考试大纲

955专业综合一(高等代数85分，空间解析几何65分)

2016年硕士研究生招生考试大纲

科目编号955高等代数（分值：85）适用专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学

一、总体要求

1．掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法）.

2.掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构,线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，多项式的整除性及因式分解.

3.掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间与酉空间，正交变换与正交矩阵,酉变换与酉矩阵，对称变换与对称矩阵,实对称矩阵的正交相似对角化，最小二乘解，对偶空间与双线性函数.

二、考试内容

第一部分多项式

1.数域,一元多项式的定义和基本运算；

2.多项式的带余除法，多项式整除性理论；

3.多项式的最大公因式，辗转相除法；

4.不可约多项式，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；

5.多项式函数与多项式的根；

6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式；

7.有理数域和整数环上的多项式，Eisenstein判别法；

8.多元多项式的概念及字典排列法，对称多项式及其基本定理.

第二部分行列式

1.排列、n阶行列式的定义；

2.n阶行列式的性质和基本计算；

3.代数余子式、行列式按一行（列）展开；

4.克莱姆法则；

5.Laplace定理.

第三部分线性方程组

1.线性方程组求解的消元法；

2.矩阵的秩，用矩阵的初等变换求秩；

3.线性方程组可解的判别法；

4.两个多项式的结式和多项式的判别式.

第四部分矩阵

1.矩阵的线性运算、乘法及转置；

2.矩阵可逆的判定条件及性质，用初等变换求可逆矩阵的逆;

3.矩阵乘积的行列式与秩;

4.矩阵的分块及其运算技巧.

第五部分向量空间

1.向量空间的定义和例子；

2.向量组的线性相关和线性无关性，向量组的极大无关组；

3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换公式；

4.子空间、子空间的交与和；

5.向量空间的同构及其性质；

6.矩阵的行秩和列秩，齐次线性方程组的解空间与基础解系.

第六部分线性变换

1.线性映射和线性变换的定义及例子；

2.线性变换的运算和矩阵的关系；

3.线性变换的不变子空间及其性质；

4.方阵的特征值和特征向量；

5.可以对角化的矩阵；

6.极小多项式与Cayley-Hamilton定理;

7.向量空间的准素分解，矩阵的Jordan标准形；

8.矩阵的有理标准形.

第七部分欧氏空间和酉空间

1.向量的内积和欧氏空间的定义；

2.规范正交基，Schmidt正交化方法；

3.正交变换与正交矩阵；

4.对称变换与对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；

5.向量到子空间的距离，最小二乘解；

6.酉空间与酉变换.

第八部分二次型

1.二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；

2.复数域上的二次型及其典范形；

3.实数域上的二次型，惯性定律；

4.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件.

第九部分双线性函数