2025年中国地质大学（北京）821高等代数考试大纲与参考书目

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中国地质大学(北京)2025年硕士研究生入学考试《高等代数(821)》考试大纲与参考书目

考试性质

本门课程考试的内容包括行列式、矩阵、线性方程组、多项式理论、二次型、线性变换和线性空间等。要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法，评价标准是使高校优秀本科毕业生能达到及格或及格以上水平。

考试方式和考试时间

1. 答卷方式：闭卷、笔试

2. 答卷时间：180分钟

试卷结构

满分150分，题型为填空题、选择题、计算题、证明题。

考试内容和考试要求

考查要点

1. 多项式

一元多项式环、带余除法、整除、最大公因式、辗转相除法，互素的充要条件，不可约多项式、因式分解的唯一性和标准分解式、重因式、多项式函数、根、重根;复(实)系数多项式的因式分解;代数基本定理;有理系数多项式的有理根、艾森斯坦因判别法。

2. 行列式

排列、行列式定义、性质和计算、按行展开和拉普拉斯展开定理、克莱姆法则。

3. 线性方程组

n维向量空间、向量组的线性相关性及其基本性质、极大线性无关组、秩;线性方程组有解的判别定理;线性方程组解的结构、基础解系、解空间、求解的方法。

4. 矩阵

矩阵的运算及性质;矩阵的秩;矩阵的初等变换与初等矩阵;矩阵在初等变换下的

标准形;矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式;行列式乘积定理;分块矩阵;

分块矩阵运算;矩阵的迹、方阵的多项式。

5. 二次型

二次型的矩阵表示;二次型的标准形与合同变换;复数域与实数域上二次型的标准形、规范形;惯性定理;实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件。

6. 线性空间

线性空间的概念;一些重要的线性空间实例，基、维数与坐标;基变换与坐标变换。

7. 线性变换

线性映射与线性变换的概念、运算;线性变换的矩阵表示;线性变换(矩阵)的特

征多项式、特征值与特征向量;线性变换的值域与核;特征子空间;线性变换的不

变子空间;线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件。

8. λ-矩阵

λ-矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、行列式因子;矩阵相似的条件;数字矩阵或线性变换的不变因子、初等因子、Jordan标准形。

9. 欧几里得空间

向量内积;欧氏空间的概念及性质，度量矩阵;向量的长度、夹角、正交、距离;

标准正交基;欧氏空间的子空间的正交补，欧氏空间的同构;正交变换与正交矩阵

的等价条件，对称变换的概念与性质;用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。

参考书目

《高等代数》(第五版)，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳、石生明修订，高等教育出版社。