湖州师范学院

数学硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲

考试科目名称：《高等代数》 科目代码：871

适用专业：0701数学(一级学科)

一、考试形式与试卷结构

(一)试卷总分及考试时间

本试卷总分为150分，考试时间为180分钟。

(二)考试形式

考试形式为闭卷。

(三)试卷题型结构

以计算题和证明题为主。

二、考查目标

要求考生熟练掌握高等代数的基本知识、基本理论和基本方法，能够熟练地运用高等代数的理论和方法解决相关问题。

三、考试内容

本课程考核内容主要包括多项式理论、行列式、矩阵理论、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等八个部分。主要章节内容及考核重点如下：

第一章 多项式

1. 数域

2. 一元多项式

3. 整除的概念

4. 最大公因式

5. 因式分解定理

6. 重因式

7. 多项式函数

8. 复系数与实系数多项式的因式分解

9. 有理系数多项式

重点：多项式整除性质的应用，最大公因式的求法与判定，互素的判定，不可约多项式的性质及判定，重因式与重根的判定。

第二章 行列式

1. 排列

2. n阶行列式

3. n阶行列式的性质

4. 行列式的计算

5. 行列式按一行(列)展开

6. 克拉默法则

重点：行列式的计算及应用，克拉默法则的应用。

第三章 线性方程组

1. 消元法

2. n维向量空间

3. 线性相关性

4. 矩阵的秩

5. 线性方程组有解判别定理

6. 线性方程组解的结构

重点：向量组线性相关性的判定，向量组秩的判定，线性方程组有解的判别条件、齐次线性方程组有非零解的判定、基础解系的求法，线性方程组的求解。

第四章 矩阵

1. 矩阵的概念

2. 矩阵的运算

3. 矩阵乘积的行列式与秩

4. 矩阵的逆

5. 矩阵的分块

6. 初等矩阵

7. 分块矩阵的初等变换及应用举例

重点：矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用，矩阵可逆的判定，逆矩阵的求法，分块矩阵的应用，矩阵秩的性质与判定。

第五章 二次型

1. 二次型的矩阵表示

2. 标准形

3. 唯一性

4. 正定二次型

重点：二次型的化简，实二次型的正(负)惯性指数与符号差的判定，正定矩阵的性质与判定，(半)正定二次型的判定。

第六章 线性空间

1. 集合·映射

2. 线性空间的定义与简单性质

3. 维数·基与坐标

4. 基变换与坐标变换

5. 线性子空间

6. 子空间的交与和

7. 子空间的直和

8. 线性空间的同构

重点：线性(子)空间的基与维数的求法，过渡矩阵的求法，维数公式的应用，子空间直和、线性空间同构的判别及应用。

第七章 线性变换

1. 线性变换的定义

2. 线性变换的运算

3. 线性变换的矩阵

4. 特征值与特征向量

5. 对角矩阵

6. 线性变换的值域与核

7. 不变子空间

8. 若当标准形介绍

重点：特征值与特征向量的判定与求法，线性变换(矩阵)可对角化的判定，线性变换的值域与核的性质及求法，不变子空间性质与判定。

第八章 欧几里得空间

1. 定义与基本概念

2. 标准正交基

3. 同构

4. 正交变换

5. 子空间

6. 实对称矩阵的标准形

重点：欧氏空间的判定，度量矩阵的性质与求法，标准正交基的判定与求法，正交变换与正交矩阵的性质与判定，实对称矩阵的正交相似标准形的应用。

参考教材：

1.高等代数，第五版，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石生明修订，北京：高等教育出版社，2019。