长春理工大学

长春理工大学数学研究生入学加试

《复变函数》考试大纲

一、总体要求

考生应按本大纲的要求，掌握复变函数的积分理论，级数理论，留数理论，保形映射和解析函数的理论，并了解调和函数的概念。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明。

二、教材

《复变函数(第五版)》，余家荣，高等教育出版社

三、考试内容

(一)复数及复平面

(1)理解复数的定义，熟练掌握复数的代数表达，四则运算及共轭的求法; 熟练掌握复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用，复平面与平面向量的关系;熟练掌握复数的模，辐角，三角表达式的定义和求法;掌握复数的球面表示，复球面及无穷大。

(2) 理解内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等概念，曲线、区域的概念，理解Jordan曲线定理。

(二)复变函数

(1)深入理解复变函数的定义，掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性;理解并掌握解析函数的概念;熟练掌握Cauchy—Riemann条件，能够用这个条件判定函数的解析性。

(2) 理解多值函数的概念、分支、分支点的概念，熟练掌握基本初等函数：指数函数，辐角函数，对数函数，幂函数，三角函数的定义、性质。

(三)复变函数的积分

(1) 掌握积分的定义、性质，会将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算;深入理解和熟练掌握Cauchy定理，理解Cauchy定理的证明;掌握Cauchy定理的推广，会用Cauchy定理计算积分。

(2) 熟练掌握Cauchy公式，能熟练使用Cauchy公式计算积分;掌握解析函数的无穷可微性，Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理，会使用这些性质和理论解决一些具体的问题。

(四)级数

(1)掌握复数项级数的定义及其收敛条件，函数项级数的一致收敛性定义与判定法，内闭一致收敛的定义，判定法和性质;掌握幂级数的收敛的定义，判定法，和函数的性质。

(2) 掌握函数能展开成Taylor展式的理论依据和方法，能熟练地将解析函数展开成幂级数;掌握解析函数幂级数展式的唯一性;深入理解并掌握零点的概念，掌握零点的孤立性;掌握解析函数的唯一性定理。

(3) 理解和掌握解析函数的Laurent展式的概念;掌握解析函数的Laurent展式的唯一性;能熟练地将解析函数展开成Laurent展式;理解和掌握解析函数三类孤立奇点的定义，判定方法;掌握解析函数在无穷远点性质;理解整函数和亚纯函数的定义，掌握整函数和亚纯函数的简单应用。

(五) 留数

(1)掌握留数定理，能熟练计算函数的留数。

(2) 熟练掌握利用留数求积分的方法;掌握亚纯函数在一定区域内零点与极点个数的关系，理解Rouche定理，会用Rouche定理确定某些方程在一定区域内根的个数。

(六)保形映射

(1)深入理解和掌握单叶解析函数的概念;熟练掌握单叶解析函数各个性质，并能利用这些性质解决一些具体问题;掌握保形映射的概念;掌握单叶解析函数的几何意义。

(2)理解和掌握分式线性函数的定义;熟练掌握分式线性函数的几条映射性质，理解并熟练掌握两个特殊的分式线性函数。

(3)掌握最大模原理，Schwatz引理;理解Riemann映射定理，边界对应原理;熟练掌握将某些区域保形映射成所要求的区域的方法。

(七) 解析函数

(1) 理解和掌握对称原理及其推广的形式，会应用对称原理和推广的对称原理; 掌握用幂级数进行解析开拓的方法;了解一般解析函数，Riemann面的概念和实例;了解沿曲线的解析开拓问题。

(2) 掌握多角形映射基本公式，会用多角形映射基本公式解决具体的问题。

(八)调和函数

(1)理解和掌握调和函数的概念; 掌握调和函数的中值定理和中值公式，Poisson公式，以及调和函数的极值原理。