牡丹江师范学院

科目代码、名称:809高等代数

专业类别：■学术型 □专业学位

适用专业: 070104应用数学 0701Z1数学教育

一、考试要求

高等代数是我校数学学科研究生入学考试初试考试科目。通过考试测试考生的高等代数理论知识基础和应用相关知识解决问题的能力，以保证所录取的考生具有较好的代数基础素养。

第一章 多项式

1.理解数域的基本概念;会判别某集合对于给定运算是否构成数域;

2.掌握一元多项式的基本概念与性质;

3.掌握一元多项式整除的定义，性质及带余除法。

4.掌握一元多项式最大公因式的定义，性质，辗转相除法，及多项式互素的定义和性质，会判别多项式互素;

5.掌握一般数域上一元多项式的因式分解理论，会求解在有理数域，实数域及复数域上的因式分解问题;

6.掌握一元多项式的重根，重因式及不可约多项式的相关定义与性质，熟练掌握余数定理，并会用其求多项式的根。

7.理解高斯引理，熟练掌握多项式有有理根的判别法，会Eisenstein判别法判别多项式是不可约的。

第二章 行列式

1.理解n级行列式的定义，掌握行列式的基本性质，会求行列式的值;

2.理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换的定义;

3. 熟练掌握行列式按一行(列)展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。

第三章 线性方程组

1.理解消元法的基本理论，掌握n维向量空间、向量组的线性相关性、矩阵的秩等基本概念与基本理论;

2. 学会判断线性方程组是否有解、有解时有多少解、并会求线性方程组的通解;

3. 熟练掌握线性方程组解的存在性条件与解的结构。

第四章 矩阵

1.理解矩阵的定义及矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练地应用;

2.掌握矩阵乘积的行列式与秩的相关性质定理;

3.掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定，会求可逆矩阵的逆矩阵;

4.理解分块矩阵的定义，计算法则及运算规律，掌握分块矩阵的初等变换及其应用。

第五章 二次型

1.理解二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系，及矩阵合同的定义;

2.掌握二次型的标准形及化二次型为标准形的方法;

3.掌握复数域和实数域上二次型的规范形及唯一性定理，会化二次型为规范形，掌握惯性定理。

4.理解正定二次型与正定矩阵的概念和判别法。

第六章 线性空间

1.理解线性空间的概念及有关定义：包括线性相关、线性无关、维数、基、坐标、子空间、子空间的交与和、子空间的直和、余子空间等;

2.掌握线性空间的简单性质及基变换和坐标变换公式;

3.掌握子空间的判别法，理解生成子空间的概念并掌握生成子空间的集合形式;

4.掌握维数公式及其证明方法并能灵活应用;掌握常用的几个子空间直和的判别法;

5.理解线性空间的同构映射和线性空间同构的概念，掌握同构映射的基本性质。

第七章 线性变换

1.理解线性变换的概念，掌握线性变换的基本性质及运算;

2.会求线性变换在一组基下的矩阵，掌握矩阵相似定义及性质。

3.理解线性变换的特征值与特征向量的概念和n阶方阵的特征多项式，特征值与特征向量的概念，会求有限维线性空间中线性变换的特征值、特征向量;

4.掌握n维线性空间的一个线性变换可对角化的一些充分条件与充要条件，在满足可对角化时能将矩阵化成对角形;

5.理解线性变换的值域、核、秩和零度等概念及相关定理，掌握不变子空间的定义;

6. 理解矩阵的最小多项式的定义和性质，会求矩阵的最小多项式。

第八章

2.理解-矩阵的行列式因子、不变因子等基本概念，熟练掌握-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系，掌握-矩阵等价的条件;

3.掌握数字矩阵的初等因子和线性变换的初等因子的基本概念，掌握矩阵的初等因子与矩阵的不变因子、行列式因子之间的关系，以及数字矩阵之间相似的充要条件;

4.理解若尔当型矩阵的定义，及矩阵相似于若尔当标准形的理论、会求矩阵相似的若尔当标准型。

第九章 欧几里得空间

1. 理解内积及欧氏空间的概念及向量长度和两个向量的夹角的概念;

2.理解n维欧氏空间中基的度量矩阵及由此而确定的欧氏空间的内积，掌握度量矩阵的性质与不同基的度量矩阵之间的关系;

3.理解正交组、标准正交组、正交基、标准正交基等概念，切实掌握施密特(Schimidt)正交化方法;

4.掌握欧氏空间同构和正交变换的概念及正交变换的几个等价刻画，掌握正交矩阵的定义及性质，理解子空间正交与正交补的概念，

6.理解对称变换的概念;切实掌握求正交阵，使实对称矩阵正交相似于对角阵的方法;掌握用正交线性替换化实二次型为标准形的方法。

二、考试内容

参考书目：《高等代数》，北京大学数学系主编，第四版，高等教育出版社，北京，2013.

注：本文中“章”、“节”均指以上参考书目中的“章”、“节”

1) 多项式(第一章1-9节)

2) 行列式(第二章1-8节)

3) 线性方程组(第三章1-6节)

4) 矩阵(第四章1-7节)

5) 二次型(第五章1-4节)

6) 线性空间(第六章1-8节)

7) 线性变换(第七章1-9节)

8)-矩阵(第八章1-6节)

9) 欧几里得空间(第九章1-6节)

三、试卷结构(包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等)

考试时间：180分钟

总 分：150分

考试方式：笔试，闭卷

题 型：(1)选择题或填空题40分;(2)解答题(计算题和简答题)60分 ;(3)证明题50分

四、学院审核意见

主管领导签字： 单位公章：

注：“总分”按照各自命题科目分值具体情况添写。